微積分法の応用 - フーリエ級数・変換 -
担当教員
授業の到達目標及びテーマ
音声や画像の信号を振動数ごとに分解・再構築する手法の基本となるフーリエ級数やフーリエ変換を学びます。応用上で重要な離散フーリエ変換についても基本を理解します。
授業の概要と方法
「積分法の基礎と応用」の単位取得が前提となります。数学の道具立てを使いこなせるようになるため、出される課題に正面から答えてください。数学的な操作と現実世界の行為の対応関係をつかめるよう、mathematicaを用いて結果を可視化する試みも取り入れます。
授業計画
| 回 | テーマ | 内容 |
|---|---|---|
| 1 | 【周期現象と三角関数】 | 周期現象を表すための基本である三角関数の性質を復習します。とくにサイン・コサインの直交性と呼ばれる関係が重要です。 |
| 2 | 【フーリエ三角級数の定義と基本的な性質】 | サインとコサインの重ね合わせで表され周期関数のバラエティに注目します。 逆に、周期関数をサインとコサインに展開するフーリエ三角級数を定義します。 サインとコサインを使う意味を考えます。 |
| 3 | 【フーリエ三角級数の計算例】 | フーリエ三角級数の具体例を見ます。振動数スペクトルについて理解します。 |
| 4 | 【複素指数関数と複素フーリエ級数の定義】 | 複素平面の使いかた、複素指数関数の定義と基本的な性質(直交性、微積分)、サイン・コサインとの関係を復習します。 フーリエ三角級数と複素フーリエ級数の関係を理解します。 |
| 5 | 【複素フーリエ級数の例】 | 複素フーリエ級数の計算例を見ていきます。 |
| 6 | 【複素フーリエ級数の性質】 | パーセバルの等式、ギッブス現象、一様収束と平均収束など。 |
| 7 | 【フーリエ変換の定義】 | 周期が無限大の極限でフーリエ係数がどのように変化するかを観察し、フーリエ変換と逆変換を定義します。フーリエ変換の意味を理解します。 |
| 8 | 【フーリエ変換の例】 | サイン・コサイン、単一パルス、指数関数、ガウス関数のフーリエ変換を計算します。 |
| 9 | 【フーリエ変換の性質】 | 実部と虚部の意味、変数をシフトした影響、導関数のフーリエ変換など。 δ関数や階段関数にも注意します。 |
| 10 | 【フーリエ変換の応用】 | 微分方程式の解法と畳み込み積分の計算を学びます。 |
| 11 | 【系の応答特性】 | 線形系と時不変系のインパルス応答と周波数応答 |
| 12 | 【離散フーリエ変換の定義】 | 波形のサンプリングとデータから復元できる波形について学びます。 DFTの定義を導入します。 |
| 13 | 【離散フーリエ変換の性質】 | 周期、対称性、直交性など、実際に計算して理解します。 |
| 14 | 【離散フーリエ変換とフーリエ変換】 | DFTをフーリエ変換によりシミュレートし、DFTについて理解を深めます。 |
| 15 | 【離散フーリエ変換のアルゴリズム】 | FFTの考え方を紹介します。 |
授業外に行うべき学習活動
随時、課題が出されます。
テキスト
担当教員のホームページからダウンロードしてください。
参考書
とくになし。
成績評価基準
各テーマごとに実施する小テストとレポートの評点(50%)、期末試験(50%)の総点で評価します。
前年度の授業改善アンケートからの気づき
難しい科目のようですが、一段ずつ階段を上っていきましょう。