微分幾何学

授業の到達目標及びテーマ

　幾何学的な量を導入することによって、特に曲面の局所的な性質を中心に理解する。曲面を平面上の地図で表現することを考える。

　曲線に関しては曲率と捩率とは何かを理解する。曲面については、基本量と微分形式、およびガウス曲率と平均曲率について理解する。微分積分学と線形代数学についての知識を必要とする。

回	テーマ	内容
1	平面曲線	平面曲線を特徴づける量を考える。
2	空間曲線	空間曲線を特徴づける量を考える。
3	第一基本形式	空間内の曲面を特徴づける量で、微小な距離に相当するものを考える。
4	第二基本形式	曲面の外見を決定する量を考える。
5	ガウス曲率	曲面を特徴づける最も代表的な量を学ぶ。
6	正規直交標構	曲面上の各点に正規直交標構を導入して、微分形式を利用して基本量を書き直す。
7	第一構造式・第二構造式	正規直交標構を用いることで、曲面についての構造方程式を得る。
8	リーマン計量	曲面の上の幾何学を考えるため、第一基本計量に相当する量を定義する。
9	共変微分	接ベクトル、ベクトル場を定義し、それらを用いて共変微分を定義する。
10	測地線	曲面上に、平面における直線に相当する曲線を定義する。
11	ガウス・ボンネの定理	微分幾何学におけるもっとも有名な定理の一つを学ぶ。
12	極小曲面	極小曲面の性質を学ぶ。
13	地図とリーマン計量	特に球面を平面上で表現する方法としての地図を考える。
14	まとめ	提出課題の解説をしながら、この授業の内容を振り返る。
15	試験	授業内容に関する試験を行う。

微分積分学および線形代数学の復習をすること。

ハンドアウトを提供する。

『曲線と曲面の微分幾何学』小林昭七著、裳華房、『曲線と曲面―微分幾何学的アプローチ』梅原雅顕・山田光太郎著、裳華房、『曲線論・曲面論Mathematicaで探索する古典微分幾何学』

　3回の課題提出(45%)、期末試験(55%)

　できるだけ図を描きながら、視覚的イメージを重視する説明をします。ただし、重要な証明は省きませんが、ときに複雑な計算を伴います。