位相幾何学
担当教員
授業の到達目標及びテーマ
結び目、閉曲面を題材にして自由に伸び縮みを行わせても変わらない特性を研究する。
授業の概要と方法
様々な抽象概念を理解するために、具体例での計算を示す。学生はその提示された例の取り扱いを模倣し、類似例の計算を行う。一部は授業時間内に行うが、学生自身の考えた例と計算結果を課題レポートとして提出する。
授業計画
| 回 | テーマ | 内容 |
|---|---|---|
| 1 | 導入 | 第2回以降のトピックについて概略を述べる。 |
| 2 | 2次元宇宙と閉曲面 | ここで問題にする曲面とは何か。本講義での研究対象としての曲面を定義する。具体例を多数あげる。 |
| 3 | 閉曲面と見取り図 | 閉曲面の見取り図上で曲線の交差状況を観察しながら、様々なトポロジーを区別する必要性をみる。 |
| 4 | 閉曲面と展開図 | 閉曲面のひとつのデータ構造として展開図に親しむ。 |
| 5 | 平面連結グラフとオイラーの公式 | 構造に関する帰納法に親しむ。高校で習う数学的帰納法の発展版である。 |
| 6 | 多面体 | 平面グラフに関するオイラーの定理の応用として正多面体の分類を行う。 |
| 7 | 閉曲面のオイラー標数 | オイラー標数を導入し、多くの実例にあたって計算をする。 |
| 8 | 向き付可能な閉曲面の分類 | 裏表の区別、あるいは右利き左利きの区別ができる2次元宇宙(閉曲面)のカタログをつくる。 |
| 9 | 向き付不可能な閉曲面の分類 | 裏表の区別ができない、あるいは右利き左利きの区別ができない2次元宇宙(閉曲面)のカタログをつくる。 |
| 10 | グラフ | 第11回以降の準備としてグラフ理論の必要な部分を復習する。 |
| 11 | 結び目と射影図 | 結び目の正則射影図とそのデータ構造を考察する。 |
| 12 | ライデマイスターの基本変形 | 基本変形を紙の上で演習し、データ構造とその変換の方法を考察する。 |
| 13 | 絡み目と絡み目数 | 絡み目数の定義を行い、不変性を検証し、多くの例にあたって計算する。 |
| 14 | 射影平面と4次元ユークリッド空間 | 射影平面が3次元ユークリッド空間内に埋め込みが不可能であることを検証する。 |
| 15 | まとめ | 第2回から第14回までの内容で演習を行う。 |
授業外に行うべき学習活動
毎回出される課題の取り組みと次回の授業の内容をテキストにもとづき予習。
テキスト
直観位相幾何学、前原ひろし、共立出版
参考書
適宜指示する。
成績評価基準
毎回の課題レポート(30%)。期末試験(70%)。
前年度の授業改善アンケートからの気づき
該当なし