微分法の基礎と応用

スコープ

微積分法は現実世界の出来事を予測・シミュレートするとき絶大な力を発揮し,情報科学を応用する様々な場面で用いられます.この授業は,微分法に親しみ違和感なく対応できるようになることを目標としています.あわせて「数学を使って考える技術」を身につけることも心がけます.

宿題

・解答つき練習問題         → 宿題 I の書き方

・講義時間に配布する練習問題 → 宿題 II, 提出日=次回

第1部 (第1回〜第2回配当) 数列と級数

現象が従うルールを漸化式で表し将来を予測する例題から数列や級数が役立つことを体験します.有理数の数列の極限が有理数でない例を用い無理数や実数の連続性に触れます.自然対数の底eの定義を学びます.

  • 数列の基本用語
  • ハノイの塔
  • 2項漸化式のグラフ解法
  • 漸化式と再帰プログラミング
  • 数列の極限
  • 有理数列と無理数
  • "e"
  • 実数の連続性

宿題 I [A]とQ&A





【参考】
絶対値記号の基本
数学的帰納法 1
数学的帰納法 2
フィボナッチ数列

No.03-05 簡単な関数

べき関数,整関数,有理関数,指数関数,対数関数,三角関数など初等関数の定義とグラフや性質を復習し,これらの関数で表される例を見ます.また関数を対称性で分類したり,既知の関数の逆関数として定義される関数も学びます.さらに関数の極限と連続性について復習します.(この単元の内容で中間テスト1,日時未定)

・チェックシート(教科書2章の自習:前後に確認)

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講義メモ(2章 A)


講義メモ(2章 B)


講義メモ(2章 C)

→講義メモ(2章)

  • べき関数,多項式,有理関数,無理関数
  • 指数関数,対数関数
  • 三角関数,逆三角関数
  • 関数のグラフ
  • 対称性による分類
  • 関数の極限値
  • 重要な極限


[B] 宿題 I とQ&A









No.06-07 微分法 基礎と応用(1)

基礎では,関数のグラフを直線で近似することを通し微分法の基本を復習します.
応用(1)では,微分法を実用的な問題に適用する例を紹介します.

・チェックシート(教科書3章前半の自習:前後に確認)


講義メモ(3章 A)


応用例

  • 滑らかな関数を直線とみなす
  • 増分Δfと微分df
  • 微分係数,導関数の求め方
  • 逆関数と合成関数の微分法,対数微分法
  • 高次導関数
  • 簡単な関数の導関数
  • テーラー展開の資料をダウンロードして
    予習を開始してください→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ ⇒


テーラー展開の解説と宿題 I [X]




No.08-10 微分法 応用(2)

テーラー展開の基礎と応用を学びます. 概略の関数値を簡単に計算したり、関数の形を多項式で近似する方法を、 現実世界ことに物理現象の理解と関連付けて学びます。

・チェックシート(教科書3章後半の自習:前後に確認)


講義メモ(3章 B)


テーラー展開の問題集

  •  中間試験の準備として↑の問題を解きなさい.その「答案」は,課題として次回に提出する.
  •  板書メモ


予備

  • 授業時間内に中間試験(30分程度)を予定
  •  板書メモ
  • 平均値の定理
  • 関数の直線による近似
  • 平均値の定理を高次同関数に適用
  • 関数の多項式による近似
  • 誤差
  • テーラー展開・マクローリン展開
  • 三角関数を多項式で近似する
  • cosh(双曲線関数、懸垂曲線)を放物線で近似する
  • 教科書 問題3-5 小問3:33の5乗根の概算,近似の精度
  • 教科書 問題3-6 小問1:e-xのマクローリン展開と1/eの概算,近似の精度
  • 対数関数Logの多項式による近似、関数値の近似計算と誤差
中間試験の範囲
  • 関数の微分係数を求める計算
  • 関数のグラフを(要領よく)描く
  • テーラー展開・マクローリン展開による関数の近似と誤差
授業の内容
  • 微分(df)の使い方など


解説:テーラー展開の問題集

No.11-12 2変数関数の基礎

まず偏微分法を学ぶ準備として平面を表す関数について学習します。 次に偏導関数の定義と意味を学びます。

・チェックシート

講義メモ(5章 A)

練習問題

  • 平面の式
  • 式の係数と平面の傾き
  • 等高線
  • 最大傾斜の方向
  • 最大傾斜の大きさ
  • 接平面
  • 偏導関数
  • 接平面の式
  • 2階偏導関数とその幾何学的な意味


宿題 I[H] とQ&Aなど



No.13 偏微分法

全微分の意味と取り扱いを学びます。 偏微分の計算法を学びます.

・チェックシート


講義メモ(5章 B)

  • 全微分と偏微分
  • 合成関数の偏微分法
  • 極座標系での全微分
  • 陰関数微分


宿題 I[J] とQ&A

No.14-15 偏微分法 応用

2変数関数の極値問題を学びます。 条件付き極値問題は情報科学の応用分野でも使います。

・チェックシート


講義メモ(5章 C)


講義メモ(5章 D)

  • 2変数関数の極値と鞍点
  • 極小・極大
  • 最大・最小
  • 条件付き極値問題
  • 展望(ベクトル解析・偏微分方程式)


宿題 I[K] とQ&Aなど