Fundamental Theory for Cyberworlds
- 2012 年度版 (2013年度版準備中)
Instructor
Goal and Theme
サイバーワールドをモデリング、設計、テストするための基礎理論となっている数学的基盤について、位相幾何学から初めて、ホモトピー理論、基本群、複体と折れ線群などについて学ぶ。
Abstract
サイバーワールドは、コンピュータとインターネットが結びつくことにより、人工的に新たに作られた仮想的な世界である。インターネットビジネス、ソーシャルネットワーク、検索エンジンなど新たな技術が出現しているが、これらは、いわゆる複雑系のシステムであり、そのモデリング、設計、テストには新しい数学的な枠組みを必要とするが、ここではその基礎となっているホモトピー理論を中心とする不変量に関連する概念を学ぶが、一つ一つの理論を正確に理解してもらうために、学生による説明(これには問題を解くことも含まれている)を中心としながら、授業を進めてゆく。
Schedule
| 回 | テーマ | 内容 |
|---|---|---|
| 1 | サイバーワールドとは | トポロジー及びホモトピーがサイバーワールドの基礎理論といてどのように使われているかについいて説明する |
| 2 | トポロジー=その主題と方法(1) | 幾何学の現代的見方、アフィン幾何学 |
| 3 | トポロジー=その主題と方法(2) | トポロジーという幾何学、トポロジーの方法 |
| 4 | ホモトピー理論(1) | 位相空間 |
| 5 | ホモトピー理論(2) | 位相不変量、同値分類と群 |
| 6 | 基本群(1) | ホモトピーと基本群 |
| 7 | 基本群(2) | ホモトピー型不変性、積空間の基本群 |
| 8 | 基本群の性質(1) | 球面の基本群 |
| 9 | 基本群の性質(2) | 円周の基本群 |
| 10 | 複体と折れ線群(1) | 図形の見方 |
| 11 | 複体と折れ線群(2) | 複体としての閉曲面 |
| 12 | 複体と折れ線群(3) | 複体の折れ線群 |
| 13 | 複体群の応用(1) | 閉曲面の基本群、不動点定理 |
| 14 | 複体群の応用(2) | 結び目への応用、その他 |
| 15 | まとめ | 今後の応用分野について簡単に説明する |
授業外に行うべき学習活動
位相幾何額と呼べれる数学の一分野に属すホモトピーについて学びますが、これまでに学んできた数学とは大きく異なっていて、概念の積み重ねです。理解するのにかなりの時間を要しますので、四週、復讐を繰り返し、テキストや参考書を熟読してください。
Materials
瀬山士朗著「トポロジー ループと折れ線の幾何学」朝倉書店
References
野口廣著「トポロジー 基礎と方法」筑摩書房
Evaluation Method
出席率、レポート
前年度の授業改善アンケートからの気づき
特にありませんが、例題を多くして説明します。